2015届高三年级第四次四校联考
数学试题（理）
命题：忻州一中 临汾一中 康杰中学 长治二中
（满分150分，考试时间120分）
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1. 设全集 集合 ， ，则
A . B . C . D.
2. 复数 为纯虚数，若 ( 为虚数单位)，则实数 的值为
A . B . 3 C . D.
3. 已知双曲线 过点 ，则该双曲线的渐近线方程为
A. B.
C. D.
4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 把函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 的图象关于 对称，则
A. B. C. D.
6. 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是
A. B. C. D.
7. 在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形， 面 , ,则三棱锥 外接球的表面积为
A. B. C. D.
8. 已知 ， ，则有
A. B.
C. D.
9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中 长度最长的是
A. B.
C. D.
10. 设椭圆 的左右焦点分别为 ，点 ，
设直线 与椭圆交于M、N两点，若 =16，则椭圆的方程为
A. B.
C. D.
11. 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，设 在 上的最大值为 ,且 的前 项和为 ，则 =
A. B. C. D.
12. 设函数 ，若存在 , ,使得
成立（其中 为自然对数的底数），则正实数 的取值范围是
A . B .
C . D.
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 的展开式中 的系数是 .
14. 已知实数x，y满足 ，则目标函数 的最大值为 .
15. 已知 M为线段BC上一点，且
, 则 的最大值为 .
16. 在 中，角 的对边分别为 ，
， 则 的最小值为 .
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17.（本题满分12分）
已知等差数列 的公差 ， ；等比数列 满足： ， ，
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 的前 项和为 ，令 ，求 .
18.（本题满分12分）
如图，三棱柱 中，侧棱 平面 ， 为等腰直角三角形， ，且 分别是 的中点
（1）求证： 平面 ；
（2）求锐二面角 的余弦值.
19.（本题满分12分）
某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响.其具体情况如下表：
日产量 400 500 批发价 8 10
概 率 0.4 0.6 概 率 0.5 0.5
（1）设随机变量X表示生产这种零件的日利润，求X的分布列及期望；
（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率.
(注：以上计算所得概率值用小数表示)
20. (本题满分12分)
已知抛物线 ，过焦点且斜率为1的直线 交抛物线C于 两点，以线段 为直径的圆在 轴上截得的弦长为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 的直线 交抛物线C于F、G两点，交 轴于点D，设
试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
21. (本题满分12分)
已知函数
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）当 时，若对任意实数 ，当 时，函数 的最小值为 ，求实数a的取值范围.
请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B．C， 的平分线分别交AB．AC于点D．E．
（1）证明： .
（2）若AC=AP,求 的值.
23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ，直线 的参数方程为 .以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线 的极坐标方程；
（2）若 为曲线C上的动点，求点P到直线 的距离d的最大值和最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知关于 的不等式 的解集是
（1）求 的值；
（2）若 均为正实数，且 ，求 的最小值.
2015届高三年级第四次四校联考
数学试题答案（理）A卷
一、选择题
1-5: DDCAC 6-10: CBADB 11-12: BA
二、填空题:
13．-20 14．9 15． 16．
17．解：（1）公差 ，
………2分
∴ ∴
∴ ………4分
设等比数列 的公比为
∵ ∴ 即 ∴
即 ………6分
（2）由 得：
∴ 即 ………8分
∴ = ………10分
=
= ………12分
18.（1）连结 ，∵ 是等腰直角三角形 斜边 的中点，∴ .
又 三棱柱 为直三棱柱，
∴面 面 ，
∴ 面 ， . ……… 2分
设 ，则 .
∴ ，∴ . ………4分
又 ，∴ 平面 . ………6分
（2）以 为坐标原点， 分别为 轴建立直角坐标系如图，设 ，
则 ，
， .
………8分
由（Ⅰ）知， 平面 ，
∴可取平面 的法向量 .
设平面 的法向量为 ，
由
∴可取 . ………10分
设锐二面角 的大小为 ，则
.
∴所求锐二面角 的余弦值为 . ………12分
19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200
随机变量X可以取：4000,3000.，2200 ………1分
P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2
P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ………4分
X 4000 3000 2200
P 0.3 0.5 0.2
∴X的分布列为:
EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 ………6分
(2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0.8
∴ ～ ………8分
∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 ………10分
至少有2天利润不少于3000的概率为：
………12分
20.解：（1）由已知:直线 的方程为 ，代入
得： 设 ， 则
且线段 的中点为 ， ………3分
由已知 ，
解得 或 （舍去）
所以抛物线 的方程为： ………6分
（2）设直线 ：y=kx+2(k 0)，则 ，与 联立得
由 得 ,设
则 ………8分
所以 ………10分
则
将 代入上式得
即 为定值 ………12分
21.解：（1）由已知 ，
则 ………1分
所以当 和 时， 单调递减；
当 时， 单调递增； ………2分
所以当 时， 有极小值为 ，
当 时， 有极大值为 . ………4分
（2）由已知 .
①当 时， ，于是 和 时， 单调递减； 时， 单调递增；又因为 ，要对任意实数 ，当 时，函数 的最小值为 ，只需要 ，即 ，解得 ，因为 所以 ………7分
②当 时， ， ，在 上，恒有 ，且仅有 ，故 在 上单调递减.显然成立. ………8分
③当 时， ，于是 和 时， 单调递减； 时， 单调递增；
要对任意实数 ，当 时，函数 的最小值为 ，只需要 ，即 ……10分
令 ， ，所以 在 上单调递减， ，所以此时
综上所述： ………12分
22．解：(1)∵ PA是切线，AB是弦，
∴ ∠BAP=∠C， ………2分
又 ∵ ∠APD=∠CPE,
∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,
∴ ∠ADE=∠AED． ………5分
(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,
∴ △APC∽△BPA, ∴ , ………7分
∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴ ∠C=∠APC=∠BAP= ×90°=30°．
在Rt△ABC中， = , ∴ = ． ………10分
23．解：(1)曲线C的直角坐标方程为 ………2分
直线 的直角坐标方程为4x-3y+12=0
则其极坐标方程为 ………5分
(2)
则
所以最大值为 ，最小值为 。 ………10分
24．解：（1）不等式 可化为 ………1分
所以 ，即 …………2分
又因为原不等式解集为 ，所以 ，解得 . …………5分
（2）由（1）可知
（方法一：利用基本不等式）
因为 ，所以 ………8分
所以当且仅当 时， 的最小值是 . ………10分
（方法二：利用柯西不等式）
因为 ，所以 ………10分
（方法三：消元法求二次函数的最值）
因为 ，
所以 ，………8分
所以当且仅当 时， 的最小值是 . ………10分
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